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Correction QCM partie maths du concours 2006 de controleur de la Direction Générale des Impots.
Question 38
Reprise de l’énoncé : Citron = C ; Orange = OR ; Pamplemousse = P ; Melon = M ; Banane = B.
10C = 8O
16 O= 12P
4P = 1M
6M = 48B
Simplifions
10C = 8OR soit 20 C = 16OR
16 OR= 12P
4P = 1M soit 12P = 3M
6M = 48B soit 3M = 24B
Par le jeu des simplification, on a 20C = 24B (il suffit de bien suivre…)
Donc 20C = 24B 5C = 6B
Réponse D(6)
Question 39
Reprise de l’énoncé : Terre = T, Soleil = S, Jupiter = J
Distance Soleil Terre = 1.5x 10 e8
Distance Soleil-Jupiter = 7.8 x 10 e8
Vitesse de la lumière c = 3x10e8 m/s = 3x 10 e5km/s
« La Terre, Jupiter et le Soleil sont, a un moment donne, disposes aux sommets d'un triangle rectangle, avec l'angle droit sur le Soleil. »
Il convient d’appliquer le théoreme de pythagore et de calculer l’hypothénuse.
TJ² = TS² + SJ²
TJ² = 1.5² +7.8² = 2.25 + 60.84 = 63.09
TJ aproximativement =8 x 10 e8
V = D/T donc T = D/T
T = 8x 10 e8 / 3 x 10 e5
T = 8/3 x 10 e3
T = 2.666 x 10 e3
T = 2666 = 44.43 minutes donc réponse
Réponse C(45 minutes)
Question 40
Situation 1
D = Distance initiale entre Pierre et Paul
A = distance initiale entre Pierre et Angstaad = A = (1/4)D
B = distance initiale entre Paul et Angstaad = B = (3/4)D
Situation 2 : si au bout d’une heure, la distance augmente, c’est que Pierre et Paul s’éloigne de la ville.
A1 = 1.045A(Au bout d'une heure la distance entre Pierre et Angstaad a augmenté de 4,5 %).
B1 = 1.06B (et celle entre Paul et Angstaad de 6 %.).
D1 +4.5 = A1 + B1
D +4.5 = A1 + B1
D +4.5 = 1.045A + 1.06B (on remplace avec méthode par substitution avec la situation 1)
D +4.5 = 1.045 x (1/4) x D + 1.06 x (3/4) x D
D +4.5 = (1.045/4) x D + (3.18/4) x D
D +4.5 = (4.225/4)D attention on simplifie 4.225/4 = 1.05625
1.05625D-D = 4.5
0.05625D = 4.5
D = (4.5/0.05625)
D = 80
Réponse B(80)
Question 41
Reprise de l’énoncé : Economies = E
Condition 1 : 3 E + 42>204
Condition 2 : E – 18 <94
Pour résoudre, ce problème, nous testons les réponses proposées.
Condition 1 : 3 E +42 >204
3x 35+42 = 147 donc ce n’est pas 35 euros
3 x 45 + 42 = 177 donc ce n’est pas 45 euros
3 x 55 + 42 = 207 donc possible.
Condition 2 : 2 E –18<94
2 x 55 – 18 = 92 donc la condition 2 est bien remplie.
Si E = 65 alors 2x65-18 = 112., E n’est pas égal à 65
Réponse : C(55 € )
Question 42
Un cocktail = 1
1x 0.7 x 0.3 = 0.21 soit 21%
Réponse : D(21 %.)
Question 43
(2x+2) [(2x+2)-(x-1)]
2x+2)(x+3)
Réponse : D(2 x+ 2)(x+ 3).
Question 44
Pas d’autres choix que de developper (e = exposant)
(X— 1)(X+ 1)(X+ 3) = (X²-1)²(X+3) = Xe3 + 3X²-X-3
(X²+ 2 X - 3) (X — 1) = Xe3-X²+2X²-2X-3 = Xe3-X²-5X+3
Xe3+X²-5X+3
(X²-2X+1)(X+3) = Xe3+3X²-2X²-6X+X+3 = Xe3+X²-5X+3
Réponse : A(X— 1)(X+ 1)(X+ 3)
Question 45
Un petit schéma vaut mieux qu’un long discours.
A : aire de l’allée
Aire de la place = 38x22=836
Pelouse = longueur 38-2-2 = 34 ; Largeur 22-2-2 = 18
Aire de la pelouse = 34x18 = 612
Aire de l’allée = Aire de la place – Aire de la pelouse
836-612 = 224 m²
Aire d’un pavé : 20x20 = 400cm² = 0.04m²
Nombre de pavés : 224/0.04 = 5600
Nombre de cartons : 5600/50=112 il faut 112 cartons de 50 pavés
Cout total = prix des pavés + pose
(112x270)+(380x224)
30240+85120 = 115360
Réponse : C(115360 e )
Question 46 Merci à sebMIE
Pour connaître l’inégalité exacte sans se lancer dans des développements, nous vous proposons de remplacer a et b par des chiffres.
a< 0 < b, nous posons a=-1 et b=1
A : ab> b² = -1>1 FAUX
B : a²+b²<2ab = 1+1 < 2 FAUX
C : (a + b)² – (a – b)² = a²+2ab+b-(a²-2ab+b²) = a²+2ab+b²-a²+2ab-b² = 4ab nous remplaçons 4x1x-4 = -4>0 FAUX
D : a²+b²>=2ab.
1+1>=2 x –1 x 1
2>=-2 VRAI
Réponse D(a²+b²>=2ab.)
Une reflexion de sebMIE qui nous a fait douter : si a est négatif (-) et b positif (+) alors pour D
a² + b² toujours positifs car les carrés sont toujours positifs
2ab sera négatif
Mais l'équation ne sera jamais égale, donc la réponse doit être " Aucune des solutions proposées n'est bonne."
Notre point de vu : pour nous >= signifie > ou égal, et en l'espèce l'équation n'est pas fausse, même si l'égalité n'est pas possible...
Question 47
Nous reprenons l’énoncé
Z = poids du gateau
la farine compte pour moitié = (1/2)xZ
le sucre et le lait représentent chacun un douzième = (2/12)xZ
le gâteau contient 20 % de jaune d'œuf = (1/5)xZ
il comporte 80 grammes de beurre = 80g
Nous prenons comme dénominateur commun 60
la farine compte pour moitié = (1/2)xZ = (30/60)Z
le sucre et le lait représentent chacun un douzième = (2/12)xZ = (10/60)Z
le gâteau contient 20 % de jaune d'œuf = (1/5)xZ = (12/60)Z
il comporte 80 grammes de beurre = 80g
Nous additionnons le tout (30+10+12)/60 = 52/60
8/60 = 80 grammes donc 1/60 = 10 grammes
Z = 600 grammes
Réponse C (600 grammes)
Question 48
Z = Calcul du volume du puits = volume d’un cylindre = Pi x R² x H
Hauteur du puits : 5+1=6 Rayon = 2/2 = 1 6x1x3 = 18 m3 Volume d’eau résiduelle : 6000l = 6m3 Donc pour que le puits déborde, il faut : 18-6= 12 m3 Calcul du volume d’eau de pluie (4/3 litres/mn par m²) L’ouverture du puits est égale à l’aire d’un cercle = Pi x R ² = 3m² Calcul du temps pour remplir le puits T= temps 4/3 x T x 3 = 12000 T= 12000/4 T = 3000 minutes = 50 heures Réponse B(50 h )
Réponse ()
Question 49
On commence par les multiplications
(-2)x 9 x (1/3) = -6
3 x4 x5 = 60
5 -(-2)x 9 x (1/3) +4+6+3 x4 x5-1
on remplace le résultat des multiplications dans l’équation proposées ;
5+6+4+6+60-1 = 80
Réponse : B(80)
Question 50
Soit Z le prix de l’hectare
Aire d’un triangle = (B x H) /2
1 ha = 10 000 m²
(250 x 250) /2 = 31250m2
(31250 /10000) = (4500/Z)
3.125 x Z = 4500
Z = 4500 :3.125
Z = 1440
Réponse : C(1 440 €/ha)